गणित – कक्षा 10 अभ्यास/प्रश्नावली 1.1 हल math class 10 exercise 1.1 solution/answer

गणित – कक्षा 10 अभ्यास/प्रश्नावली 1.1 हल

1. प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में प्रकट कीजिए :
   • (i) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = 2² × 5 × 7
   • (ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = 2² × 3 × 13
   • (iii) 3825 = 3 × 3 × 5 × 5 × 17 = 3² × 5² × 17
   • (iv) 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
   • (v) 7429 = 17 × 19 × 23
2. निम्नलिखित युग्म संख्याओं का LCM तथा HCF ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि
   (LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल)
   • (i) 26 और 91
     26 = 2 × 13
     91 = 7 × 13
     HCF = 13
     LCM = 2 × 7 × 13 = 182
     गुणनफल = 26 × 91 = 2366
     HCF × LCM = 13 × 182 = 2366
     इसलिए यह सत्यापित है कि LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
   • (ii) 510 और 92
     510 = 2 × 3 × 5 × 17
     92 = 2 × 2 × 23
     HCF = 2
     LCM = 2² × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
     गुणनफल = 510 × 92 = 46920
     HCF × LCM = 2 × 23460 = 46920
     इसलिए यह सत्यापित है कि LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
   • (iii) 336 और 54
     336 = 2⁴ × 3 × 7
     54 = 2 × 3³
     HCF = 2 × 3 = 6
     LCM = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024
     गुणनफल = 336 × 54 = 18144
     HCF × LCM = 6 × 3024 = 18144
     इसलिए यह सत्यापित है कि LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
3. अभाज्य गुणनखण्ड विधि से LCM तथा HCF ज्ञात कीजिए :
   • (i) 12, 15 और 21
     12 = 2² × 3
     15 = 3 × 5
     21 = 3 × 7
     HCF = 3
     LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
   • (ii) 17, 23 और 29
     17 = 17
     23 = 23
     29 = 29
     HCF = 1
     LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
   • (iii) 8, 9 और 25
     8 = 2³
     9 = 3²
     25 = 5²
     HCF = 1
     LCM = 2³ × 3² × 5² = 1800
4. यदि HCF (306, 657) = 9 है, तो LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
   हम जानते हैं,
   LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
   इसलिए,
   LCM (306,657) × HCF (306,657) = 306 × 657
   LCM (306,657) × 9 = 306 × 657
   
   LCM (306,657) = (306 × 657) / 9 = 22338
5. क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए n का अंतिम अंक 0 हो सकता है?
   यदि किसी संख्या का अंतिम अंक 0 है, तो वह 10 से विभाज्य होगी।
   अर्थात, उसमें 2 और 5 दोनों गुणनखण्ड होने चाहिए (क्योंकि 10 = 2 × 5)।
   लेकिन n! में केवल 2 और 3 आते हैं, 5 नहीं आता।
   इसलिए n! कभी भी 10 से विभाज्य नहीं होगा।
   अतः किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए n! का अंतिम अंक 0 नहीं हो सकता।
6. यह स्पष्ट कीजिए कि 7×11×13 + 13 और 7×6×5×4×3×2×1 + 5 भाज्य संख्या (Composite Numbers) हैं।
   पहला समीकरण:
   7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × (77 + 1) = 13 × 78
   यह संख्या 13 और 78 से विभाजित होती है। यह संख्या दो से अधिक गुणनखण्ड रखती है। इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
   
   दूसरा समीकरण:
   7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) = 5 × (1008 + 1) = 5 × 1009
   यह संख्या 5 और 1009 से विभाजित होती है। 1009 अभाज्य है, लेकिन यह संख्या दो से अधिक गुणनखण्ड रखती है।
   इसलिए यह भी एक भाज्य संख्या है।
7. एक खेल मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार मार्ग है। सोनिया को एक चक्कर लगाने में 18 मिनट और रवि को 12 मिनट लगते हैं। यदि दोनों एक ही समय पर, एक ही बिन्दु से, एक ही दिशा में चलना शुरू करें तो वे कितने मिनट बाद फिर से प्रारम्भिक बिन्दु पर मिलेंगे?
   उत्तर: LCM(18, 12) ही दोनों एक ही समय पर, फिर से प्रारम्भिक बिन्दु पर मिलेंगे।
   18 = 2 × 3²
   12 = 2² × 3
   LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
   अतः सोनिया और रवि 36 मिनट बाद फिर से प्रारम्भिक बिन्दु पर मिलेंगे।