1. सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है

प्रमाण: मान लेते हैं कि \(\sqrt{5}\) परिमेय है। तो हम लिख सकते हैं–

\[\sqrt{5}=\frac{a}{b},\quad \text{जहाँ }a\text{ और }b\text{ सह-अभाज्य हैं तथा }b\neq 0.\]

\(a=\sqrt{5}b\)

दोनों ओर वर्ग करने पर–

\[a^2=5b^2 \quad\cdots(1)\]

यह दर्शाता है कि \(a^2\) 5 से विभाज्य है, अतः \(a\) भी 5 से विभाज्य होगा। मान लें \(a=5c\)। इसे (1) में रखने पर–

\[(5c)^2=5b^2 \Rightarrow 25c^2=5b^2 \Rightarrow b^2=5c^2.\]

इससे \(b^2\) भी 5 से विभाज्य है, अर्थात् \(b\) भी 5 से विभाज्य होगा। अतः \(a\) और \(b\) दोनों 5 से विभाज्य हैं, जो कि सह-अभाज्य होने की शर्त के विपरीत है — विरोधाभास।

अतः \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है।

2. सिद्ध कीजिए कि \(3+2\sqrt{5}\) अपरिमेय है

प्रमाण: मान लेते हैं कि \(3+2\sqrt{5}\) परिमेय है। तो—

\[3+2\sqrt{5}=\frac{a}{b},\quad \text{जहाँ }a\text{ और }b\text{ सह-अभाज्य हैं, }b\neq0.\]

\[2\sqrt{5}=\frac{a}{b}-3 \Rightarrow \sqrt{5}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}-3\right).\]

चूँकि \(\frac{a}{b}-3\) परिमेय है, तो दाएँ ओर परिमेय होगा और इससे \(\sqrt{5}\) परिमेय निकलता है, जो कि पहले सिद्ध कर चुके विरोधाभास से असत्य है।

अतः \(3+2\sqrt{5}\) अपरिमेय है।

3. निम्नलिखित को अपरिमेय सिद्ध कीजिए

(i) \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

मान लेते हैं कि \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) परिमेय है —

\[\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b},\quad \text{जहाँ }a\text{ और }b\text{ सह-अभाज्य हैं, }b\neq0.\]

\[\Rightarrow\ \sqrt{2}=\frac{b}{a}.\]

यहाँ \(\frac{b}{a}\) परिमेय है, अतः \(\sqrt{2}\) परिमेय होगा — परंतु पहले से ज्ञात है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। विरोधाभास।

इसलिए \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) अपरिमेय है।

(ii) \(7\sqrt{5}\)

मान लेते हैं कि \(7\sqrt{5}\) परिमेय है —

\[7\sqrt{5}=\frac{a}{b}\Rightarrow \sqrt{5}=\frac{a}{7b}.\]

यहाँ \(\frac{a}{7b}\) परिमेय होगा, अतः \(\sqrt{5}\) परिमेय होगा — परंतु यह असत्य है। विरोधाभास।

इसलिए \(7\sqrt{5}\) अपरिमेय है।

(iii) \(6+\sqrt{2}\)

मान लेते हैं कि \(6+\sqrt{2}\) परिमेय है —

\[6+\sqrt{2}=\frac{a}{b} \Rightarrow \sqrt{2}=\frac{a}{b}-6,\quad \text{जहाँ }a\text{ और }b\text{ सह-अभाज्य हैं, }b\neq0.\]

चूँकि \(\frac{a}{b}-6\) परिमेय है, इससे \(\sqrt{2}\) परिमेय निकलेगा — परंतु \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। विरोधाभास।

अतः \(6+\sqrt{2}\) अपरिमेय है।