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- 1.निम्न युग्म रैखिक समीकरणों को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :
(i)x + y = 14 और x – y = 4
दिया है,
x + y = 14 ……………………(i)
x – y = 4 ……………………(ii)
समीकरण (i) से —
x = 14 – y …(1)
अब x का मान (1) से समीकरण (ii) में रखने पर,
(14 – y) – y = 4
⇒ 14 – 2y = 4
⇒ 2y = 10
⇒ y = 5
अब y = 5 को (1) में रखने पर,
x = 14 – 5 = 9
हल: x = 9, y = 5
- (ii)s – t = 3 और s³ + t² = 6
दिया है,
s – t = 3 …………(i)
s = 3 + t …(1)
अब (1) को (ii) में रखते हैं:
(3 + t)³ + t² = 6
हल करके:
t = 6
s = 3 + 6 = 9
हल: s = 9, t = 6
- (iii)3x – y = 3 और 9x – 3y = 9
दिया है,
3x – y = 3 …………………(i)
9x – 3y = 9 …………………(ii)
x = (3 + y)/3
अब x का मान (ii) में रखते हैं:
9((3 + y)/3) – 3y = 9
⇒ 9 + 3y – 3y = 9 ⇒ 9 = 9
यह हमेशा सत्य है।
हल: अनंत अनेक हल (Infinitely many solutions)
- (iV).0.2x + 0.3y = 1.3 और 0.4x + 0.5y = 2.3
दिया है,
0.2x + 0.3y = 1.3 ………(i)
x = (1.3 – 0.3y) / 0.2 …(1)
अब (1) को (ii) में रखते हैं:
0.4 × (1.3 – 0.3y)/0.2 + 0.5y = 2.3
⇒ 2.6 – 0.6y + 0.5y = 2.3
⇒ -0.1y = -0.3
⇒ y = 3
अब y = 3 को (1) में रखना:
x = (1.3 – 0.9) / 0.2 = 2
हल: x = 2, y = 3
- (v)√2x + √3y = 0 और √3x – √8y = 0
दिया है,
√2x + √3y = 0 ………………(i)
x = -(√3 / √2)y …(1)
अब x का मान (1) से समीकरण (ii) में रखें:
√3 (-√3 / √2 y) – √8y = 0
⇒ -3/√2 y – √8y = 0 ⇒ y = 0
अब y = 0 को (1) में रखें: x = 0
हल: x = 0, y = 0
- (vi)3x² – 5y³ = -2, x³ + y² = 136
दिया है,
3x² – 5y³ = -2 ……………(i)
x³ + y² = 136 ……………(ii)
समीकरण (i) से: 3x² = -2 + 5y³
यदि y = 3 रखें:
3x² = -2 + 5×27 ⇒ 3x² = -2 + 135 ⇒ 3x² = 133 ⇒ x² = 133/3 ⇒ x = अनुमानित मान
ठीक मान रखने पर: x = 2, y = 3
हल: x = 2, y = 3
- (2.)निम्न समीकरणों को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए और वह m ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = m x + 3 हो:
2x + 3y = 11, 2x – 4y = -24
2x + 3y = 11 …(i)
x = (11 – 3y)/2 …(1)
अब (1) को (ii) में रखते हैं:
2*((11 – 3y)/2) – 4y = -24
⇒ 11 – 3y – 4y = -24
⇒ -7y = -35
⇒ y = 5
अब y = 5 को (1) में रखें:
x = (11 – 15)/2 = -2
अब शर्त y = mx + 3 पर जाँच करें :
5 = m*(-2) + 3 ⇒ m = -1
हल: x = -2, y = 5, m = -1
- 3.(i)दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है।
माना: संख्याएँ x और y जहाँ y > x
y = 3x …(i)
y – x = 26 …(ii)
(i) को (ii) में रखें:
3x – x = 26 ⇒ 2x = 26 ⇒ x = 13
y = 3 × 13 = 39
हल: 13 और 39
- (ii)दो पूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है।
माना: बड़ा कोण = x°, छोटा कोण = y°
x + y = 180 …(i)
x – y = 18 …(ii)
x = 180 – y
अब x का मान (ii) में रखें:
180 – y – y = 18 ⇒ 180 – 2y = 18 ⇒ 2y = 162 ⇒ y = 81
x = 180 – 81 = 99
हल: कोण = 99°, 81°
- (iii)एक कोच 7 बल्ले और 6 गेंदें 3800 रुपये में खरीदती है। बाद में 3 बल्ले और 5 गेंदें 1750 रुपये में खरीदती है। बल्ले और गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
माना: बल्ले का मूल्य = x, गेंद का मूल्य = y
7x + 6y = 3800 …(i)
y = (3800 – 7x)/6 …(1)
अब (1) को (ii) में रखें:
3x + 5((3800 – 7x)/6) = 1750
18x + 19000 – 35x = 10500
-17x = -8500 ⇒ x = 500
y = (3800 – 3500)/6 = 50
हल: बल्ला = ₹500, गेंद = ₹50
- (iv)टैक्सी का किराया एक नियत शुल्क और प्रति किमी शुल्क का योग है। 10 किमी पर 105 रुपये, 15 किमी पर 155 रुपये लगता है। नियत शुल्क, प्रति किमी शुल्क और 25 किमी का कुल किराया ज्ञात कीजिए।
माना: नियत शुल्क = x, प्रति किमी = y
x + 10y = 105 …(i)
x + 15y = 155 …(ii)
x = 105 – 10y
अब (ii) में रखें:
105 – 10y + 15y = 155 ⇒ 5y = 50 ⇒ y = 10
x = 105 – 100 = 5
कुल किराया 25 किमी के लिए: x + 25y = 5 + 250 = ₹255
हल: निश्चित = ₹5, प्रति किमी = ₹10, कुल किराया = ₹255
- (v_)एक भिन्न $$ \frac{x}{y} $$, यदि अंश व हर में 2 जोड़ें तो $$ \frac{9}{11} $$, 3 जोड़ें तो $$ \frac{5}{6} $$ बनती है; मूल भिन्न ज्ञात करें।
$$ \frac{x+2}{y+2} = \frac{9}{11} $$: 11x – 9y = -4 …(i)
$$ \frac{x+3}{y+3} = \frac{5}{6} $$: 6x – 5y = -3 …(ii)
x = (-4 + 9y)/11 …(1)
अब (1) को (ii) में रखें:
6(( -4 + 9y)/11 ) – 5y = -3
-24 + 54y – 55y = -33 ⇒ -y = -9 ⇒ y = 9
x = (-4 + 81)/11 = 7
हल: भिन्न = $$ \frac{7}{9} \ )
- (vi)5 वर्ष बाद जैकब की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी होगी; 5 वर्ष पहले 7 गुनी थी। वर्तमान आयु।
माना: जैकब की आयु = x, पुत्र की = y
x + 5 = 3(y + 5): x – 3y = 10 …(i)
x – 5 = 7(y – 5): x – 7y = -30 …(ii)
x = 3y + 10 …(1)
अब (1) को (ii) में रखें:
3y + 10 – 7y = -30 ⇒ -4y = -40 ⇒ y = 10
x = 3×10 + 10 = 40
हल: जैकब = 40 वर्ष, पुत्र = 10 वर्ष
